异面直线公垂线

有两个线段 $L_1$, $L_2$ 的法向分别为 $\bm{u}$，$\bm{v}$, 则有直线方程。

$ L_1: \bm{r} = \bm{a} + t\bm{u} $

$ L_2: \bm{r} = \bm{b} + s\bm{v} $

则存在两个点 $P(t) = \bm{a} + t\bm{u}, Q(s) = \bm{b} + s\bm{v}$，有 $ \overrightarrow{PQ} · \bm{u} = 0，\overrightarrow{PQ} · \bm{v} = 0 $。

令 $ \bm{w} = \bm{b} - \bm{a} $, 可以构建线性方程组：

$$ \begin{cases} t - s\bm{u}\bm{v} = \bm{w} · \bm{u} \\ t\bm{u}\bm{v} - s = \bm{w} · \bm{v} \end{cases} $$

由于 $\bm{u}$, $\bm{v}$ 不平行，显然有系数行列式不为零，存在唯一解及有且仅有一个公垂线：

$$ \begin{vmatrix} 1 & -\bm{u}\bm{v} \\ \bm{u}\bm{v} & -1 \end{vmatrix} \not={0} $$

公垂线距离为直线最近距离。